说题嘉宾 宁波市小学数学名师 宁波市镇海区鲲池小学 王世彦 学习对象 小学六年级学生

    1.方中圆

    先来看一组题，求阴影部分的面积：

    看似不同的形状，通过仔细观察，我们不难发现，把图形中的空白部分进行组合，就是一个圆的面积。那么，阴影部分都是从正方形中减去一个圆的面积，就是我们熟悉的方中圆。

    2.圆中方

    通过转化，我们发现这些图形都可以变成圆中方，用圆的面积减去正方形的面积，即所求的阴影部分。

    刚才我们从两组图形入手，图形的多种变换，其实都围绕着方中圆和圆中方的本质问题，大家也可尝试着找一找，画一画，还有其他类似的图形。

    二、化零为整，学会从整体看问题

    有时我们在做题时会被复杂的图形所困扰，但静心想一想，做些适当的转化，你就能体会到解题时柳暗花明又一村的豁然开朗。下面这道的阴影部分面积，你想到了什么方法？

    没错，我们把图形进行适当分割和移动，这样阴影部分的面积刚好是半个圆形。将不规则的图形转化成规则图形，化零为整，也是解题的一种好方法。

    这几道题都需通过图形的运动将阴影部分进行转化。题1求的是半圆的面积；题2求是1/4的圆中方；因为三角形的内角和是180度，题3的阴影刚好是正方形面积的一半；题4，我们通过翻转阴影部分变成两个三角形的面积，而下边的三角形还可以通过面积的等积守恒进行转化，阴影面积最终变成一个三角形的面积。

    三、化曲为直，图形之妙运乎于变

    数学的美妙在于它的神奇的变换。如下图，这样的阴影部分该怎么求呢？

    我们先理清解题思路，阴影部分的面积应该是左半圆的面积+右半圆的面积+三角形的面积减去大半圆的面积，现在可以把算式进行整理，大家是不是发现两个小半圆的面积刚好与大半圆相等，相互抵消，这样阴影部分面积就变成这个直角三角形的面积。

    同学们一定发现了，这些曲线围成的图形，居然都是可以转化成线段围成的平面图形。题1、题2、题3阴影部分的面积都是正方形的一半。题4两种不同的转化方法，但都变成了正方形。

    四、化动为静，画出来的精彩

    以上这些阴影部分的面积，通过图形的运动，利用转化的思路我们可以找到解题的一些好方法。那么，面对运动着的圆又有什么解题方法呢？

    先来看这道题：一个小圆绕着正方形的边长滚动一周，它扫过的面积是多少？解这道题的关键是小圆扫过的面积是什么形状，我们先想象一下，再一起来看小圆的运动轨迹。大家有发现吗？小圆扫过的图形面积，先由角上的4个直角扇形刚拼成一个圆形，圆形的半径就是小圆的直径。再加上4个长是8厘米，宽是2厘米的长方形，即圆形扫过的面积。

    大家再想象一下，如果这个圆刚好沿着正三形的边长滚动一周，它扫过的面积又是如何呢？对比一下，这两种不同图形的滚动轨迹，我们可以发现不管是几边形，小圆扫过的面积都有一个圆的面积，再加上有几条边就有几个长方形的面积。将运动的过程与图示表征出来，简单又清楚。化动为静也是一种好的方法。试想一下，小球在正方形内沿边滚动，留下的轨迹又有什么不同呢？有兴趣的同学可以继续研究。

    围绕着与圆相关的图形面积的计算有很多，但通过这样的归类整理，大家对这些图形阴影的求法有了进一步的思考。百变归一、化零为整、化曲为直、化动为静等，这些形象而生动的名称是不是给大家留下了深刻的印象？相信还有更多的好方法等着大家去发现。一道好的题目能发人深省，学习数学不仅要会解题，还要会讲题。更要学会归类分析，能做一“题”而明一“类”，从而加强对数学问题的本质思考。